Das Elgamal-Kryptosystem (von Taher Elgamal 1985 entwickelt oder Tahir al-Dschamal) beruht auf dem mathematischen Verfahren des diskreten Logarithmus.  Der diskrete Logarithmus ist in der Gruppentheorie das analoge Verfahren zum Logarithmus in der Analysis. Diskret bedeutet hier ganzzahlig.

Trapdoor Einwegfunktion 
Die Umkehrung der diskreten Exponentialfunktion (Basis hoch x Modulo n) ist der diskrete Logarithmus.  Die diskrete Exponentialfunktion ist auch für große Exponenten mit heutigen Algorithmen gut berechenbar.  Für die Umkehr-Funktion, also die Berechnung des Exponenten x, bei gegebener Basis b, Modulo m und gewünschtem Ergebnis, ist jedoch kein ausreichend schneller, in polynominaler Zeit lösbarer Algorithmus bekannt.  Deswegen wird die diskrete Exponentialfunktion als Einwegfunktion in asymmetrischen Kryptosystemen (z. B. Elgamal-Kryptosystem) verwendet.  Diskrete Logarithmen können als Mathematisches Prinzip zur Kryptoschlüsselerzeugung verwendet werden, da sie als Trapdoor-Einwegfunktion gelten.  Algorithmen zur Berechnung des diskreten Logarithmus sind z. B. der Pohlig-Hellman-Algorithmus, der Index-Calculus-Algorithmus, der Babystep-Giantstep-Algorithmus oder die Pollard-Rho-Methode.  Das Elgamal-Kryptosystem beruht auf einem asymmetrischen Verschlüsselungsalgorithmus der den Grundaufbau des Diffie-Hellman-Algorithmus verwendet.  Elgamal wird neben der Verschlüsselungsfunktion auch zur Signaturerzeugung verwendet.

Effizientes Kryptosystem 
Elgamal verwendet einen öffentlichen und einen geheimen Schlüssel.  Für genügend grosse Zahlen ist Elgamal immer noch ein effizientes Kryptosystem und kann nicht in annehmbarer Zeit gebrochen werden.  Falls das Problem des Diffie-Hellmann Schlüsselaustausches gelöst werden kann, so ist auch Elgamal gebrochen.